El valor aceptable a muchos efectos prácticos de la vida cotidiana del llamado número Pi, es 3,1416. Es lo que según recuerdo (y me parece que no me equivoco en absoluto), se enseñaba en las escuelas más elementales, de los pueblos más pequeños de España como el mío (Castropodame) hace ya más de medio siglo, tanto en la época de Franco, como en años anteriores. Los alumnos y alumnas de 10 años debían conocerlo como el nombre de sus padres, por ejemplo. Es lógico que así fuere, ya que este célebre número y desde hace miles de años ha sido muy importante para labores cotidianas, como por ejemplo la fabricación de ruedas.
El cálculo exacto del número Pi es imposible, de lo que cabría deducir que por tanto es imposible calcular la longitud de una circunferencia o el área de un círculo (por ejemplo) de modo exacto. Pues así es en efecto, pero en la vida real los cálculos muy a menudo no es preciso que sean exactos, sólo que sean aproximados en modo suficiente. Esta es la cuestión. Paradojas matemáticas.
Hay muchos modos de calcular la equivalencia entre el radio de una circunferencia y su longitud, de modo nunca exacto, pero siempre lo bastante o aceptablemente aproximado. Las fabricantes de ruedas a lo largo de la Historia lo hicieron supongo usando métodos muy simples. Son tan simples que no hace falta ni siquiera saber leer, ni escribir, ni conocer lo más mínimo de contar, sumar, restar….sólo es preciso tener un nivel intelectual digamos normal y corriente. Piénselo el lector.
A un niño de 8 años no parece lógico pedirle que deduzca el valor del número Pi, con algunos decimales; pero a los alumnos de secundaria, (lo que en mi época era bachillerato y COU), al menos a los de la rama de ciencias si se les debe pedir. Tienen la obligación moral de saberlo.
El método que yo propongo (que he probado) y que sin duda debería resultar de perfecta comprensión a cualquier estudiante de secundaria medianamente espabilado, se basa en las matemáticas de enseñanza secundaria de hace unos 50 años, cuando yo era estudiante de ese nivel. Se trata simplemente de aplicar el teorema del seno y otros conocimientos muchísimo más elementales, como el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo ha de ser exactamente e inexorablemente 180º. Son insisto detalles que deberían ser de perfecto manejo para cualquier estudiante de secundaria. Hay que utilizar eso si una calculadora para obtener en unos minutos, el valor de Pi. La realidad de que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre y exactamente igual a 180º; es tan evidente en si misma que no hace falta saber leer ,ni escribir, ni siquiera hablar para verlo.
Explicaré el método para hallar el valor aceptable de Pi un poco “por encima”. Una explicación muy detallada, sería complicada de entender para muchas personas y por tanto no se molestarán en leerla. Los estudiantes de matemáticas de secundaria, sin embargo si deberían entender (y comprobar en pocos minutos), lo que voy a exponer.
El método es simple. Ir dividiendo el área de un círculo en sectores circulares, siempre iguales, pero en número creciente. Al ir creciendo el número de sectores circulares estos se asemejan cada vez más a triángulos, con un lado cada vez más corto, tan corto que ese lado (arco de una circunferencia) se asemeja cada vez más a un lado de un triángulo, que sería a su vez una cuerda de la circunferencia. Sería el lado más corto de uno cualquiera de los infinitos sectores (o triángulos en la situación límite), cuya suma da lugar a la superficie de un círculo. Los otros dos lados son siempre los radios de la circunferencia. La suma de todas las cuerdas se va aproximando más y más a la longitud de la circunferencia. La suma de las cuerdas es el perímetro de un polígono inscrito en una circunferencia.
En cada sector circular y a medida que aumenta el número de estos, el ángulo formado por los dos radios de la circunferencia se hace cada vez más pequeño, es decir tiende a ser cero. Los otros dos (son iguales) tienden a ser ángulos de exactamente 90º. La situación límite se daría tras un número infinito de sectores. En esa situación límite, no podrían existir ninguno de los infinitos triángulos y por tanto no habría ni círculo, ni circunferencia. Paradojas matemáticas de nuevo. Es pues algo imposible, aunque si es posible construir un número (relativamente corto) de sectores circulares, para mostrar en pocos minutos que a muchísimos efectos prácticos el valor de Pi es 3,1416…y un número infinito de cifras que también a efectos prácticos de la vida cotidiana podemos ignorar y despreciar por completo. Al hablar de “construir”, no me refiero a dibujar. No hace falta. En matemáticas hay una equivalencia muy clara entre figuras y su expresión numérica.
Se puede dividir un círculo o una circunferencia si se quiere, en 4 partes iguales y después cada una de esas 4 partes ir dividiéndola por dos y seguir haciendo lo mismo con las resultantes. Se puede hacer partiendo de una división inicial en 6 partes. En este caso el paso siguiente sería una división en sectores (y/o arcos) de 30º exactos de los que caben exactamente 12 en un círculo (en la circunferencia serían arcos) y después cada parte ir dividiendo sucesivamente por dos. Rápidamente podemos llegar a dividir el círculo y circunferencia en 384 ó en 512 partes siempre iguales.
En cualquier caso entiendo que con el gráfico que adjunto es suficiente para que alumnos de secundaria (14-16 años) sean capaces de demostrar que el número Pi y a muchísimos efectos prácticos es 3,1416. Con una calculadora en pocos minutos es posible comprobar como a medida que vamos dividiendo el círculo (superficie) o la circunferencia (longitud), en partes iguales y cada vez en número mayor, la relación entre el radio ( de circunferencia y también de círculo) se va aproximando más y más a la cifra de 6,2832… Llamaremos a esta cifra N. Es exactamente igual por tanto al doble de 3,1416…. La relación entre la longitud del radio y la de la circunferencia es por tanto N, es decir la longitud de una circunferencia es 6,2832…veces la medida del radio. Por ello para hallar la longitud de una circunferencia hay que multiplicar el valor del radio por N.
En la práctica sin embargo lo que se emplea no es N, si no la mitad exacta de su valor, que es lo que llamamos el número Pi. ¿Porqué motivo al número Pi le asignan justamente la mitad de N?. No lo se exactamente, pero supongo que porque al hallar no la longitud de la circunferencia, si no la superficie del círculo, es más sencillo utilizar la mitad del valor precitado; pero este es otro tema.
Esta comprobación lógicamente se hace mediante una calculadora, un papel y un simple croquis. Insisto en que no hace falta para nada dibujar correctamente una circunferencia, ni mucho menos ir dividiendo ese dibujo en partes iguales. Hay que aplicar eso si unas fórmulas matemáticas también muy sencillas, deducidas del teorema del seno.
Termino diciendo, que supongo en un primer tanteo, que debe haber varios modos parecidos al que acabo de exponer para hallar de modo rápido y razonablemente aproximado el valor del número Pi, pero ni siquiera me he molestado en comprobarlo. También añado que supongo que hay una serie de conceptos, como por ejemplo lo que es una cuerda de circunferencia, un arco, un polígono inscrito en una circunferencia, un radio…que son de dominio público como debería ser para alumnos de 10 años.
Yo conservo y reviso con frecuencia numerosos libros de mi época de estudiante, desde la escuela de Castropodame (primaria) a la universidad, pasando lógicamente por los 7 años de lo que entonces era bachillerato y COU. También repaso muy a menudo la enciclopedia (de D. Dalmau Carles), que se estudiaba en tiempos de la II República Española, en las escuelas más básicas me parece de nuestros pueblos. Por ello creo escribir con conocimiento de causa. No obstante si cada vez que escribo un artículo revisase y recomprobase cada dato, no tendría tiempo para escribir nada. Si algún lector descubre algún error, en el texto y/o en el gráfico adjunto,le agradecería que me lo dijese. Siempre es posible aprender de los errores.
Rogelio Meléndez Tercero
