Las cuentas del antiguo Reino de León

Los deficientes conocimientos matemáticos de un rey leones, tuvieron graves consecuencias,…según una antigua leyenda.

Cuenta la leyenda que allá por los años finales del siglo X, el Condado de Castilla estaba incluido dentro del Reino de León y que Fernán González, el conde castellano tenía un caballo y un azor que le gustaban al rey leones de turno tanto que decidió comprarlos. El conde accedió a la venta y se fijó un precio insignificante (un celemín de trigo); aunque eso si,……. se multiplicaría por 2 cada día de demora del pago. Es decir al día siguiente al de la venta ya serían dos celemines, al tercero 4, al cuarto 8, al quinto 16,….. y así sucesivamente.

El rey leones consideró pese a todo que era una cantidad irrisoria (un celemín de trigo equivale a unos 4 ó 5 kg.) y por ello no se preocupó mas del asunto; pero al cabo de 7 años el Conde de Castilla reclamó la deuda. Al hacer los cálculos resultó una cantidad tan enorme que no había trigo en todo el Reino de León para pagarla y por ello la solución fue conceder la independencia Castilla.

Por lo que yo conozco, no se trata mas que de una leyenda, que aún hace escasos días he vuelto a leer en uno de mis libros de historia;(ver figura adjunta), de cuando era estudiante. Digo lo de la leyenda porque como leonés que me siento, debo reconocer que los leoneses no quedamos muy bien parados,….en esta leyenda. El relato no aclara como se hicieron esas cuentas y dejo a cargo de los historiadores averiguar este y otro detalles. A mi me interesa-en este momento-la cuestión matemática.

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Y CÁLCULO LOGARÍTMICO

Resulta que siete años son (7 x 365,25); 2.556,75 días, lo que significa que se habían cumplido 2.556 días desde que se cerró el trato y que se estaba en el día nº 2.557. Se trata simplemente de calcular el valor del término 2556 de una progresión geométrica de razón 2 y cuyo término inicial es 1 celemín. El valor de este término expresado en celemines será pues de 1 x 2(2556-1), es decir hay que multiplicar 2 x 2 x 2 x 2 x 2x 2,…. .. así hasta colocar 2.555 veces el 2. Se trata de un cálculo espantoso y no se como lo harían -si es que lo hicieron- los funcionarios medievales de turno. Sincéramente no creo que entonces fuesen capaces de hacerlo.

En la actualidad se puede hacer con relativa facilidad acudiendo al cálculo logarítmico y así diremos que : log (10)(2 x 2555) = 2555x log (10) x 2 = 2555 x 0,30103 = 769,13. Es decir el logaritmo (en base 10) de esa enorme cantidad es 769,13. Luego basta con determinar el número al que corresponde tal logaritmo y punto. Es complicado el asunto. Para tener conciencia de ello consideremos que el logaritmo en base 10 de mil millones es 9, el de diez mil millones 10, el de cien mil millones 11 y así sucesivamente. Nosotros estamos hablando de un número tan espantoso de celemines que su logaritmo en base 10 sería 769,13. Cuando yo era estudiante de secundaria los cálculos pertinentes; se hacían con unas tablas que traían consigo los libros de texto de la época, pero ahora lo hacen las calculadoras. El problema es que es una cantidad tan espantosamente larga que desborda la capacidad de algunas de las calculadoras modernas (al menos de la que yo utilicé).Tendré que probar con el ordenador. No obstante y dándole vueltas al tema llegué a la conclusión de que el número de celemines que debería pagar el rey leonés era de: 1,348962883………. multiplicado por un número que es un UNO seguido de ¡¡769 ceros¡¡. Al hablar de cantidades tan enormes el punto calve está en el número de ceros que va tras el uno citado. Tengamos en cuenta que un uno seguido de 6 ceros es un millón, un uno seguido de 9 ceros son mil millones,…… La cifra es tan enorme que ignoro el nombre concreto que habría que darle. Yo diría que es igual a “2 elevado a 2555” y punto. Pero hay otra cuestión que quizá interesa comprobar,..…aunque sea mas de 1.000 años después. ¿Había o no había en el Reino de León de entonces trigo suficiente para pagar le deuda?.

LA EXTENSIÓN DEL REINO

Para intentar responder a esta pregunta yo me basé en los datos que el Catastro Ensenada (año 1752) indica sobre Castropodame, un pueblo que ya en tiempos de Fernán García y a juzgar por los libros de historia de mi época de estudiante; estaba como el resto del Bierzo en el Reino de León. Según los citados datos en un cuartal de tierra se podrían cosechar en un año hasta 6 cuartales de trigo, lo que supondría entre 14 y 18 celemines. Imaginemos que en la Edad Media también era así. Siguiendo el cálculo y siempre manejando datos aproximados (es lo habitual al manejar medidas antiguas) llegamos a la conclusión de que en un kilómetro cuadrado se podrían obtener como máximo 45.000 celemines de trigo al año. Seamos generosos y supongamos que fueren hasta 50.000.El Reino de León entonces tenía (siempre según los libros por mi consultados) una extensión total de unos 80.000 Km2, luego aunque toda su extensión fuese sembrada de trigo se podrían cosechar 4.000 millones de celemines de trigo, cantidad esta que se sitúa entre los 1.000 y 10.000 millones de celemines. El logaritmo (base 10) de esta cantidad es 9,6; ya que la cifra concreta es un 4 multiplicado por un UNO seguido de sólo 9 ceros, cifra irrisoria frente a los 769 ceros de los que antes hablamos.

Está claro pues que se mire como se mire era absolutamente imposible obtener en aquella época (cuando vivió Fernán González) y en el Reino de León, la cantidad de celemines en la que se endeudó en rey leones. Así pues lo pagó -según la leyenda- dando a Castilla la independencia, cuyo valor es difícilmente cuantificable en términos matemáticos. En cualquier caso en el siglo X, los conocimientos geográficos y matemáticos eran tan deficientes que difícilmente podría saberse la extensión no ya de un reino si no de terrenos mucho menos extensos.

No se lo que habrá de verdad y mentira en esta leyenda. A los investigadores históricos corresponde aclararlo. A mi lo que me interesa-ahora- es señalar que las matemáticas sirven para realizar complicadas operaciones y no simplemente para sumar o dividir. El asunto de los logaritmos y las progresiones geométricas (cuyo conocimiento se precisa para abordar este endiablado cálculo);se enseñaban cuando yo era estudiante en secundario (bachillerato entonces).

Rogelio Meléndez Tercero