A CIENCIA CIERTA / Cómo se midio en el siglo XI el radio de la Ttierra (y II)

Continúo en este artículo, explicando el método utilizado hace unos 1.000 años, para medir (y al parecer con éxito) el radio de La Tierra.

La observación del horizonte marino cuando estamos cerca de la costa es algo que todos hemos hecho alguna vez. El mar impresiona. No obstante la sensación que tenemos es que la visual que estamos así trazando es horizontal. Realmente no lo es.  Matemáticamente se demuestra que a una altura de 5 metros sobre el nivel del mar, nuestra vista alcanza a ver el borde marino hasta una distancia de 8 km. Le llamaremos a este dato alcance visual. En este caso estaremos mirando con un ángulo que con la horizontal forma sólo un ángulo de 0,0719 º (y bajando lógicamente la vista). Es el ángulo de depresión. Si nos situamos a una altura de 50 m. podremos alcanzar con la vista hasta una distancia de 25,24 km. En este  caso el ángulo de depresión será de 0,22699º.

A una altura de 100 metros (en lo alto de la Torre de Hércules en la Coruña aproximadamente) nuestra vista alcanzaría a ver hasta los 35,696 km. y el ángulo de depresión será de 0,321º. Para que alcancemos a ver hasta los 111,206 km (línea recta) necesitaríamos subir a un monte de 970,48 m. sobre el nivel del mar. En este caso el ángulo de depresión seria de justamente 1º y la superficie del mar (media en curva lógicamente), sería de 111,194 km. es decir un arco de 1º exactamente asumiendo que el radio de la Tierra son 6371 km.

En todos estos cálculos hay una relación matemática rigurosa entre el ángulo de depresión, el alcance visual, la altura del monte y el radio de La Tierra. Por otra parte es evidente que el ángulo de depresión, es exactamente el del arco que corresponde a la longitud de superficie terrestre, desde la vertical del monte hasta el punto del horizonte. Lógicamente conocido el radio terrestre podremos saber otro  dato más, que es la longitud del arco precitado.

Son varias las fórmulas matemáticas (todas sencillas) que relacionan los diversos parámetros citados; pero en este caso la más interesante es la que adjunto en la figura y que permite determinar el radio terrestre (A-O) conociendo la altura del monte (A-B) y el ángulo de depresión. Ver figura adjunta con calma.

Si un experimento similar (subir a un monte de 970,48 m) se pudiese hacer en La Luna (R= 1737,31km) observaríamos que para una altura concreta sobre el suelo el ángulo de depresión seria mucho mayor. En concreto 1,914º es decir un arco de  casi 2º . La vista en línea recta alcanzaría hasta una distancia de 58,077 km.

 

CONSIDERACIONES FINALES

Al final los dos modos el de Eratóstenes y el de  Al-Biruni se reducen a hallar la relación matemática entre la medida angular (grados)  de un arco de circunferencia terrestre y la medida del radio terrestre, aunque empleando métodos muy diferentes.

Para terminar quiero insistir en la idea que ya expuse en la parte primera de este artículo (publicado la semana anterior). Lo que básicamente se trata de analizar es el planteamiento del problema, ya que los razonamientos de índole matemática (demostración del Teorema de Pitágoras por ejemplo); son siempre comprobables por si mismos en cualquier lugar y en cualquier tiempo. Otro tema es que los resultados de un problema sean más o menos aproximados a la realidad, lo que depende de que se utilicen instrumentos de medida adecuados entre otras circunstancias.

Otro asunto por el que he pasado un poco por encima es en los detalles concretos de la vida de Al-Biruni, inherentes a esta historia. Está demostrado que con el paso del tiempo la veracidad de los sucesos históricos se puede deformar más o menos prácticamente siempre. Además la línea del horizonte que empleó Al-Biruni; no fue o no me consta que fuese la del mar.

Rogelio Meléndez Tercero