A CIENCIA CIERTA / Figuras geométricas con ‘gracia’

Día tras día nos encontramos con figuras geométricas, (el marco de un cuadro por ejemplo), que calificamos como formas esbeltas o si se quiere que están “bien hechas”. Si las analizamos es fácil comprobar que todas tienen en común el hecho de que siguen ciertas pautas matemáticas. Un cuadrado por ejemplo se caracteriza por tener sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos “en escuadra”, es decir con una amplitud de 90º. Si alguna de estas características no se cumple solemos decir que no está bien hecho o que “molesta a la vista”.

Esto sucede con muchas otras figuras geométricas y es aplicable tanto a formas de dos dimensiones como de tres. Veremos algunas de las mas habituales.

LAS CONICAS

A nivel de la vida cotidiana quizá la figura geométrica más habitual es la de una circunferencia (rueda de un automóvil por ejemplo) o también la de una esfera, (un balón de futbol). La ley matemática que sigue una circunferencia consiste en que todos sus puntos se hallan a una distancia invariable del centro. Algo similar ocurre con la superficie de una esfera. Creo que esto es evidente.

Si disponemos de varias circunferencias en planos paralelos y si el radio de estas disminuye de modo progresivo y uniforme y si además todos los centros de estas se hallan en una misma línea recta lo que obtenemos es la figura de un cono. Creo que esto tampoco precisa mas explicación.

Vamos pues a avanzar un poco mas en esta línea de exposición. ¿Que ocurre cuando un cono es cortado por un plano?. Pues que se obtienen además de circunferencias otras figuras geométricas con “gracia”. Son la parábola, la elipse y la hipérbola. Son las llamadas curvas cónicas. En la vida cotidiana ya no están tan presentes como la circunferencia, pero a nivel técnico si y por ello se estudian en las matemáticas de enseñanza secundaria.

Al igual que ocurre con la circunferencia siguen unas leyes matemáticas y cuando esas leyes no se cumplen en algún tramo de su trazado solemos decir que “salta a la vista”, que algo está mal. Dicho de otro modo que se rompe la estética de la figura. En el caso de una elipse la ley matemática que sigue se puede definir así: una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Se llama lugar geométrico al conjunto de puntos que tienen todos una misma propiedad. Los jardineros para trazar una elipse lo primero que hacen es fijar en el suelo dos puntos (dos estaquillas por ejemplo). Después toman una cuerda que sea más larga que la distancia que hay entre esas estacas y atan los extremos de esa cuerda a las estacas. Lógicamente se encuentran con que esa cuerda no queda tensada y entonces con otra estaca la tensan y a continuación empiezan a desplazar sobre el suelo esa tercera estaca cuidando que la cuerda esté tensa en todo momento. Así se obtiene la elipse. No hace falta discurrir mucho para comprobar la concordancia de la definición de elipse con lo que hacen los jardineros.

Evidentemente las leyes matemáticas se han de expresar con las correspondientes fórmulas, pero en esto no vamos a entrar. En artículos de divulgación elemental como estos quizá no procede.

Al igual que ocurre con la elipse o la circunferencia, sucede con la parábola o la hipérbola. Siguen en todos los casos unas leyes matemáticas. En el caso de la parábola se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta y de un punto llamado foco. Es decir en cualquier tramo de una parábola la distancia al foco es la misma que la que hay (en perpendicular), a una recta determinada.

En el caso de la hipérbola ocurre lo mismo. Sigue una determinada ley matemática que no voy a detallar, porque de lo que se trata es de mostrar la relación entre las leyes matemáticas y lo que entendemos por belleza. El estudio detallado de cada una de estas figuras geométricas supone meternos en terrenos en los que no procede entrar en artículos de divulgación elemental.

OTRAS FIGURAS

Además de las cónicas señaladas hay otra serie de figuras geométricas como por ejemplo las llamadas clotoides o las lemniscatas. Como las anteriores se caracterizan por seguir unas leyes matemáticas concretas. Además en la Naturaleza a menudo nos encontramos con esas figuras. Por ejemplo las órbitas que siguen los astros son elipses y la trayectoria de una pelota que rebota en el suelo cayendo en diferentes puntos es una parábola. Bien es cierto no obstante que en los fenómenos naturales intervienen muchas variables y por ello trazados digamos perfectos no siempre son fáciles de observar. La Tierra gira en torno al Sol describiendo una elipse, pero para que esta fuese totalmente perfecta, entiendo que sería preciso que en el Universo no existiesen mas cuerpos celestas que el Sol y La Tierra, lo que no es cierto. En el caso de la pelota (o un balón de futbol) su trayectoria a menudo se ve alterada por ráfagas de viento por ejemplo.

Como conclusión cabría pues anotar que las leyes matemáticas tienen estrecha relación con la belleza de los objetos. Es mas yo pienso que la belleza de una composición musical tiene asimismo mucho que ver con el seguimiento de una serie de pautas o ritmos que siguen leyes matemáticas. Parece ser que ya los antiguos estudiaron esto; aunque yo sobre la relación entre música y matemáticas, no se absolutamente nada. En todo caso de lo que si se algo (al menos eso me parece), es de matemáticas y de la relación entre el diseño de figuras esbeltas y las leyes o secuencias matemáticas. Por todo ello como ejemplo ilustrativo de lo dicho adjunto dos imágenes del Parque Solar Didáctico de Bembibre, en el que se ven dos tipos de las figuras geométricas señaladas: las hipérbolas y las analemas. Esta últimas son un tipo especial de lemniscatas y si se dibujan completas presentan una forma que recuerda a la de un 8. Por estas y otras razones yo denomino a este parque solar, como didáctico. Así no se confunde con los parques solares energéticos tan de moda hoy día.

Rogelio Meléndez Tercero